053 30032010 Resolucao LISTA DE EXERCICIOS Felipe Inducao

Resolução da Lista de Exercícios do Prof. Felipe Rodrigues elaborada pelo Prof. Pedro Pantoja
LISTA DE EXERCÍCIOS
ASSUNTO: INDUÇÃO FINITA
PROF.: FELIPE RODRIGUES
Comentários: Pedro H. O. Pantoja, Natal-RN.
1) Para ݊ ൌ 1, temos

1·2·3
6
que é verdadeiro. Suponha que é verdadeiro para ݊ െ 1 e provemos que vale também para n,
De fato,
1ଶ ൌ

௡ିଵ

෍ ݇ଶ ൌ

௞ୀଵ

௡ିଵ

ሺ݊ െ 1ሻሺ݊ሻሺ2݊ െ 1ሻ
֜
6

൭෍ ݇ ଶ ൱ ൅ ݊ଶ ൌ
௡

௞ୀଵ

෍ ݇ଶ ൌ

௞ୀଵ

ሺ݊ െ 1ሻሺ݊ሻሺ2݊ െ 1ሻ
൅ ݊ଶ ֜
6

݊
݊ሺ݊ ൅ 1ሻሺ2݊ ൅ 1ሻ
ሺ2݊ଶ ൅ 3݊ ൅ 1ሻ ൌ
.
6
6

2) Para ݊ ൌ 1 vale, pois 1 · 1! ൌ ሺ1 ൅ 1ሻ! െ 1. Suponha que vale para ݊ െ 1, ou seja,
௡ିଵ

෍ ݇ · ݇! ൌ ݊! െ 1 ֜

௡ିଵ

௡

௞ୀଵ

௞ୀଵ

௞ୀଵ

൭෍ ݇ · ݇!൱ ൅ ݊ · ݊! ൌ ෍ ݇ · ݇! ൌ ݊! െ 1 ൅ ݊ · ݊! ൌ ሺ݊ ൅ 1ሻ݊! െ 1 ൌ ሺ݊ ൅ 1ሻ! െ 1.
Vale também para n.

Exercício adicional 1) Calcule o valor de

௡

෍ሺ݇ ଶ ൅ ݇ ൅ 1ሻ݇! .

௞ୀଵ

3) Para ݊ ൌ 1 é verdadeiro, pois 1ଷ ൌ ቀ vale o mesmo para ݊ ൅ 1,

ଶ

௡

ቁ . Suponha que seja verdadeiro para n e mostremos que

෍ ݇ଷ ൌ ൬

௞ୀଵ

௡

൭෍ ݇ ଷ ൱ ൅ ሺ݊ ൅ 1ሻଷ ൌ
௞ୀଵ

ଵ·ଶ ଶ

ൌ

݊ሺ݊ ൅ 1ሻ ଶ
൰ ֜
2

ሺ݊ ൅ 1ሻଶ ଶ
݊ଶ ሺ݊ ൅ 1ሻଶ
ሺ݊ ൅ 4݊ ൅ 4ሻ
൅ ሺ݊ ൅ 1ሻଷ ൌ
4
4

ሺ݊ ൅ 1ሻଶ ሺ݊ ൅ 2ሻଶ
.
4

4) Para ݊ ൌ 1 temos um resultado verdadeiro, pois ሺcos ߠ ൅ ݅ sin ߠሻଵ ൌ cos ߠ ൅ ݅ sin ߠ. Suponha que seja válido para ݊ െ 1 e provemos que vale para n,
ሺcos ߠ ൅ ݅ sin ߠሻ௡ିଵ ൌ cosሺ݊ െ 1ሻߠ ൅ ݅ sinሺ݊ െ 1ሻ ߠ
݁݊‫ݐ‬ã‫݋‬,

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Resolução da Lista de Exercícios do Prof. Felipe Rodrigues elaborada pelo Prof. Pedro Pantoja
ሺcos ߠ ൅ ݅ sin ߠሻ௡ ൌ ሺcos ߠ ൅ ݅ sin ߠሻ௡ିଵ ሺcos ߠ ൅ ݅ sin ߠሻ
ൌ ሺcosሺ݊ െ 1ሻߠ ൅ ݅ sinሺ݊ െ 1ሻ ߠ ሻሺcos ߠ ൅ ݅ sin ߠሻ
ൌ cos ሺ݊ െ 1ሻߠ · cos ߠ െ sin ߠ · sinሺ݊ െ 1ሻߠ ൅
݅ሺsinሺ݊ െ 1ሻߠ · cos ߠ ൅ sin ߠ · cos ሺ݊ െ 1ሻߠሻ ൌ cos ݊ߠ ൅ ݅ sin ݊ߠ.
5) Sabemos que
Para ݊ ൌ 1 é verdadeiro, pois

݊
݊
݊൅1
ቀ ቁ൅ቀ
ቁൌ൬
൰
ܽ
ܽ൅1
ܽ൅1

ሺ‫כ‬ሻ

1
1
ሺܽ ൅ ܾሻଵ ൌ ൬ ൰ ܽ ൅ ൬ ൰ ܾ ൌ ܽ ൅ ܾ.
0
1
Suponhamos que vale para n e provemos que vale para ݊ ൅ 1
݊
݊
݊
ሺܽ ൅ ܾሻ௡ ൌ ቀ ቁ ܽ௡ ൅ ቀ ቁ ܽ௡ିଵ ܾ ൅ ‫ ڮ‬൅ ቀ ቁ ܾ ௡
0
1
݊
ܽ‫݉݅ݏݏ‬,
݊
݊
݊
ሺܽ ൅ ܾሻ௡ାଵ ൌ ሺܽ ൅ ܾሻ௡ ሺܽ ൅ ܾሻ ൌ ሺܽ ൅ ܾሻ ቆቀ ቁ ܽ௡ ൅ ቀ ቁ ܽ௡ିଵ ܾ ൅