Álgebra

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2. SISTEMAS LINEARES

2.1. Introdução
Na natureza, as coisas estão sempre mudando, se transformando, e o ser humano, para garantir sua sobrevivência e melhorar sua existência, precisa conhecer e dominar estes processos de mudança. Um dos métodos encontrados para se descrever estas transformações foi o de procurar nestas o que permanece constante durante a mudança. Por exemplo, sabemos queo hidrogênio (H2) reage com o oxigênio (O2) para produzir água (H2O). Mas, quanto de hidrogênio e de oxigênio precisamos? Esta é uma mudança que podemos descrever do seguinte modo: x moléculas de H2 reagem com y moléculas de O2 produzindo z moléculas de H2O, ou esquematicamente: xH2 + yO2 ( zH2O.
O que permanece constante nessa mudança? Como os átomos não são modificados, o numero de átomosde cada elemento no início da reação deve ser igual ao número de átomos desse mesmo elemento, no fim da reação. Assim, as nossas incógnitas x, y e z devem satisfazer as equações:
[pic] [pic]
Se conseguirmos descobrir quais são os números x, y, z que satisfazem simultaneamente estas relações, teremos aprendido um pouco mais sobre como se comporta a natureza.Este procedimento que consistem em identificarmos o que permanece constante na mudança, leva a um sistema de equações que precisa ser resolvido e, em muitos casos, as equações envolvidas são lineares (como no exemplo anterior da reação de H2 com O2). Evidentemente, você já sabe um pouco sobre como resolver este tipo de sistema, mas quando o número de equações se torna muito grande, ou temosmenos equações do que incógnitas (como no caso anterior), podem surgir muitas dúvidas, até mesmo sobre a existência ou não de solução para o sistema.
Por outro lado, em sistemas que apresentam mais do que uma solução é necessário ter-se uma forma clara de se expressar todas elas. Por exemplo, no sistema anterior você pode encontrar duas soluções distintas para (x, y, z), mas só o terá resolvidose conseguir expressar o conjunto de todas as soluções. Por isso, nosso objetivo nesta seção é estudar um método para a resolução de sistemas lineares em geral. A técnica que será utilizada pode não ser a melhor no caso de sistemas muito simples, mas tem a vantagem de poder ser aplicada sempre e ser facilmente mecanizada. É particularmente útil em sistemas com grande número de incógnitas, onde ouso de calcularas é inevitável. Em síntese, este método (que estudaremos no item 2.6) consiste em substituir o sistema inicial por sistemas cada vez mais simples, sempre “equivalentes” ao original.

Definição1: Equação linear é toda equação da forma a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b, em que a1, a2, ..., an são números reais, que recebem o nome de coeficientes das incógnitas x1, x2, ..., xn, e b é umnúmero real chamado termo independente.
Definição2: Um conjunto de equações lineares da forma:
[pic]
é um sistema linear de m equações e n incógnitas. A solução de um sistema linear é a n-upla de números reais ordenados (r1, r2, ..., rn) que é, simultaneamente, solução de todas as equações do sistema.

2.2. Sistemas equivalentes
Dois sistemas são equivalentes quandopossuem o mesmo conjunto solução. Por exemplo, dados os sistemas:
[pic]
verificamos que o par ordenado (x, y) = (1, 2) satisfaz ambos e é único. Logo, S1 e S2 são equivalentes: S1 ( S2.

Propriedades:
i) Trocando de posição as equações de um sistema, obtemos outro sistema equivalente.
ii) Multiplicando uma ou mais equações de um sistema por um número k (k ( R*), obtemos um sistema equivalente aoanterior.
iii) Adicionando a uma das equações de um sistema o produto de outra equação desse mesmo sistema por um número k (k( R*), obtemos um sistema equivalente ao anterior.

2.3. Sistemas escalonados
Consideremos um sistema linear S no qual, em cada equação, existe pelo menos um coeficiente não-nulo. Dizemos que S está na forma escalonada (ou, simplesmente, é escalonado) se o número...
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