Álgebra abstrata

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Anéis quocientes

Meta da aula

Apresentar o desenvolvimento da estrutura algébrica de anel quociente.

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objetivos

Ao final desta aula, você deverá ser capaz de: • Apresentar a relação de congruência módulo I. • Identificar os passos que levam à caracterização de um anel quociente. • Apresentar e demonstrar as primeiras propriedades operatórias da congruência módulo I.

Você vaiprecisar dos conhecimentos sobre anéis e ideais, desenvolvidos nas Aulas 21 a 23 do curso de Álgebra I. Você também vai precisar dos conceitos de ideal de Z e dos anéis dos inteiros módulo n, do seu curso de Álgebra I.

AULA

Pré-requisitos

Álgebra II | Anéis quocientes

INTRODUÇÃO

Bem-vindo ao curso de Álgebra II. Aqui vamos estudar duas importantes e belíssimas estruturas algébricas:os anéis e os grupos. Estas teorias têm raízes em problemas muito longínquos que relativamente há pouco tempo foram resolvidos. Nesta aula, vamos copiar a construção dos anéis dos inteiros módulo n, visto no seu curso de Álgebra I, para o caso geral de um anel A e de um ideal I de A. Portanto, é uma boa idéia rever as aulas daquele curso. Você perceberá uma idéia que é recorrente na matemática: aconstrução de uma estrutura abstrata geral seguindo os passos de um exemplo particular muito importante.

EXPANDINDO O CONCEITO DE CONGRUÊNCIA Definição 1
Sejam A um anel e I um ideal de A. Definimos a seguinte relação binária em A: a ≡ b (mod I) ⇔ b − a ∈ I Dizemos, neste caso, que a e b são congruentes módulo I. Esta relação satisfaz às seguintes propriedades, que a tornam uma relação deequivalência.

Proposição 1
1. Propriedade Reflexiva a ≡ a (mod I) 2. Propriedade Simétrica Se a ≡ b (mod I), b ≡ a (mod I). 3. Propriedade Transitiva Se a ≡ b (mod I) e b ≡ c (mod I), então a ≡ c (mod I).

Demonstração
1. Basta observar que a − a = 0 ∈ I. 2. Como a ≡ b (mod I), então b − a ∈ I. Assim, a − b = −I. (b − a) ∈ I, pela condição I2 de subanel. Logo, b ≡ a (mod I).

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CEDERJ ATIVIDADE 1. Prove a propriedade transitiva da congruência módulo I.

GENERALIZANDO AS CLASSES DE CONGRUÊNCIA
Agora, que vimos que a congruência módulo I é uma relação de equivalência, sabemos que o anel A fica decomposto em classes de equivalência. São subconjuntos disjuntos, cuja união é todo o anel A, caracterizando o que chamamos de uma partição de A. Será neste conjunto de classes deequivalência que definiremos operações de adição e multiplicação, de modo a transformá-lo num anel.

Definição 2
Sejam A um anel, I um ideal de A, e a ∈ A. Definimos a classe residual de a módulo I (também chamada classe de congruência de a módulo I) como sendo o conjunto a = a + I = {a + x x ∈ I}. A próxima proposição afirma que as classes de congruência são exatamente as classes de equivalência darelação congruência módulo I.

Proposição 2
Sejam A um anel, I um ideal de A, e a, b ∈ A. Então a ≡ b (mod I) se, e somente se, a = b.

CEDERJ

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AULA

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Álgebra II | Anéis quocientes

Demonstração
(⇒) Vamos provar a inclusão a ⊂ b. Como a ≡ b (mod I), então y = b − a ∈ I. Assim, a = b − y. Agora, um elemento genérico de a é da forma a + x com x ∈ I. Segue que: a + x = (b − y)+ x

= b + (x − y) ∈ b ,

pois x − y ∈ I. A inclusão inversa, b ⊂ a, é análoga, e será uma atividade para você. (⇐) Temos a = b, então b = b + 0 ∈ b = a. Como b ∈ a, existe x ∈ I, tal que b = a + x. Portanto, temos b − a = x ∈ I, ou seja, a ≡ b (mod I). Vamos, agora, demonstrar a propriedade da partição que a congruência módulo I gera no anel A.

Proposição 3
1. Se a ∩ b ≠ ∅, então a = b.2. U a = A.
a∈A

Demonstração
1. Como a ∩ b ≠ ∅, existe um elemento c ∈ a ∩ b. De c ∈ a, temos que c = a + x com x ∈ I. De c ∈ b, temos que c = b + y, com y ∈ I. Logo, b + y = a + x, o que nos dá: b − a = x − y ∈ I, ou seja, a ≡ b (mod I). Pela Proposição 2, segue que a = b. 2. Temos a ∈ a para todo a ∈ A, então A ⊂ U a. Como, clara. U a = A,
a∈A a∈A a∈A

mente, U a ⊂ A, então segue que...
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